Геометрическая интерпретация комплексного числа

Вычисление из реальной и мнимой части

Если комплексное число известно в терминах его действительной и мнимой частей, то функция, вычисляющая главное значение Arg , называется функцией арктангенса с двумя аргументами atan2

Arg⁡(Икс+яу)знак равноatan2⁡(у,Икс){\ displaystyle \ operatorname {Arg} (x + iy) = \ operatorname {atan2} (y, \, x)}.

Функция atan2 (также называемая arctan2 или другими синонимами) доступна в математических библиотеках многих языков программирования и обычно возвращает значение в диапазоне (-π, π] .

Во многих текстах говорится, что значение задается с помощью arctan ( y / x ) , поскольку y / x — это наклон, а arctan преобразует наклон в угол. Это верно только тогда, когда x > 0 , поэтому определено частное и угол лежит между — π / 2 и π / 2 , но расширение этого определения на случаи, когда x не является положительным, относительно сложно. В частности, можно определить главное значение аргумента отдельно на двух полуплоскостях x > 0 и x <0 (разделенных на два квадранта, если нужно срезать ветвь на отрицательной оси x ), y > 0 , y < 0 , а затем исправьте вместе.

Arg⁡(Икс+яу)знак равноatan2⁡(у,Икс)знак равно{арктан⁡(уИкс)если Икс>,арктан⁡(уИкс)+πесли Икс< а также у≥,арктан⁡(уИкс)-πесли Икс< а также у<,+π2если Иксзнак равно а также у>,-π2если Иксзнак равно а также у<,неопределенныйесли Иксзнак равно а также узнак равно{\ displaystyle \ operatorname {Arg} (x + iy) = \ operatorname {atan2} (y, \, x) = {\ begin {cases} \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right ) & {\ text {if}} x> 0, \\\ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) + \ pi & {\ text {if}} x <0 {\ text {and}} y \ geq 0, \\\ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) — \ pi & {\ text {if}} x <0 {\ text {and}} y <0, \\ + {\ frac {\ pi} {2}} & {\ text {if}} x = 0 {\ text {and}} y> 0, \\ — {\ frac {\ pi} {2}} & {\ text {if}} x = 0 {\ text {and}} y <0, \\ {\ text {undefined}} & {\ text {if}} x = 0 {\ text { и}} y = 0. \ end {case}}}

Компактное выражение с 4 перекрывающимися полуплоскостями:

Arg⁡(Икс+яу)знак равноatan2⁡(у,Икс)знак равно{арктан⁡(уИкс)если Икс>,π2-арктан⁡(Иксу)если у>,-π2-арктан⁡(Иксу)если у<,арктан⁡(уИкс)±πесли Икс<,неопределенныйесли Иксзнак равно а также узнак равно{\ displaystyle \ operatorname {Arg} (x + iy) = \ operatorname {atan2} (y, \, x) = {\ begin {cases} \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right ) & {\ text {if}} x> 0, \\ {\ frac {\ pi} {2}} — \ arctan \ left ({\ frac {x} {y}} \ right) & {\ text { if}} y> 0, \\ — {\ frac {\ pi} {2}} — \ arctan \ left ({\ frac {x} {y}} \ right) & {\ text {if}} y < 0, \\\ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) \ pm \ pi & {\ text {if}} x <0, \\ {\ text {undefined}} & {\ текст {if}} x = 0 {\ text {и}} y = 0. \ end {case}}}

Для варианта, когда Arg определен как лежащий в интервале [0, 2π) , значение можно найти, прибавив 2π к значению выше, когда оно отрицательно.

В качестве альтернативы, главное значение может быть вычислено единообразно, используя формулу касательного половинного угла , причем функция определяется на комплексной плоскости, но исключает начало координат:

Arg⁡(Икс+яу)знак равно{2арктан⁡(уИкс2+у2+Икс)если Икс> или у≠,πесли Икс< а также узнак равно,неопределенныйесли Иксзнак равно а также узнак равно{\ displaystyle \ operatorname {Arg} (x + iy) = {\ begin {case} \ displaystyle 2 \ arctan \ left ({\ frac {y} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}) }} + x}} \ right) & {\ text {if}} x> 0 {\ text {или}} y \ neq 0, \\\ pi & {\ text {if}} x <0 {\ text {and}} y = 0, \\ {\ text {undefined}} & {\ text {if}} x = 0 {\ text {and}} y = 0. \ end {cases}}}

Это основано на параметризации окружности (за исключением отрицательной оси x ) рациональными функциями. Эта версия Arg недостаточно стабильна для вычислений с плавающей запятой (поскольку она может переполняться вблизи области x <0, y = 0 ), но может использоваться в символьных вычислениях .

Вариант последней формулы, позволяющий избежать переполнения, иногда используется в вычислениях с высокой точностью:

Arg⁡(Икс+яу)знак равно{2арктан⁡(Икс2+у2-Иксу)если у≠,если Икс> а также узнак равно,πесли Икс< а также узнак равно,неопределенныйесли Иксзнак равно а также узнак равно{\ displaystyle \ operatorname {Arg} (x + iy) = {\ begin {case} \ displaystyle 2 \ arctan \ left ({\ frac {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} — x} {y}} \ right) & {\ text {if}} y \ neq 0, \\ 0 & {\ text {if}} x> 0 {\ text {and}} y = 0, \\\ pi & {\ text {if}} x <0 {\ text {and}} y = 0, \\ {\ text {undefined}} & {\ text {if}} x = 0 {\ text {and}} y = 0. \ End {case}}}

Идентичности

Одним из основных мотивов для определения главного значения Arg является возможность записывать комплексные числа в форме «модуль-аргумент». Следовательно , для любого комплексного числа г ,

zзнак равно|z|еяArg⁡z.{\ displaystyle z = \ left | z \ right | e ^ {i \ operatorname {Arg} z}.}

Это действительно только в том случае, если z не равно нулю, но может считаться действительным для z = 0, если Arg (0) рассматривается как неопределенная форма, а не как неопределенная.

Далее следуют некоторые дальнейшие отождествления. Если z 1 и z 2 — два ненулевых комплексных числа, то

Arg⁡(z1z2)≡Arg⁡(z1)+Arg⁡(z2)(мод(-π,π),Arg⁡(z1z2)≡Arg⁡(z1)-Arg⁡(z2)(мод(-π,π).{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Arg} (z_ {1} z_ {2}) & \ Equiv \ operatorname {Arg} (z_ {1}) + \ operatorname {Arg} (z_ {2}) {\ pmod {(- \ pi, \ pi]}}, \\\ operatorname {Arg} \ left ({\ frac {z_ {1}} {z_ {2}}} \ right) & \ Equiv \ operatorname { Arg} (z_ {1}) — \ operatorname {Arg} (z_ {2}) {\ pmod {(- \ pi, \ pi]}}. \ End {align}}}

Если z ≠ 0 и n — любое целое число, то

Arg⁡(zп)≡пArg⁡(z)(мод(-π,π).{\ displaystyle \ operatorname {Arg} \ left (z ^ {n} \ right) \ Equiv n \ operatorname {Arg} (z) {\ pmod {(- \ pi, \ pi]}}.}

Пример

Arg⁡(-1-яя)знак равноArg⁡(-1-я)-Arg⁡(я)знак равно-3π4-π2знак равно-5π4{\ displaystyle \ operatorname {Arg} {\ biggl (} {\ frac {-1-i} {i}} {\ biggr)} = \ operatorname {Arg} (-1-i) — \ operatorname {Arg} ( i) = — {\ frac {3 \ pi} {4}} — {\ frac {\ pi} {2}} = — {\ frac {5 \ pi} {4}}}

Использование комплексного логарифма

Из , легко следует, что . Это полезно, когда доступен комплексный логарифм .
zзнак равно|z|еяArg⁡(z){\ Displaystyle г = | г | е ^ {я \ OperatorName {Arg} (г)}}Arg⁡(z)знак равно-япер⁡z|z|{\ displaystyle \ operatorname {Arg} (z) = — я \ ln {\ frac {z} {| z |}}}

Библиография

  • Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ: Введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной (3-е изд.). Нью-Йорк; Лондон: Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-000657-1.
  • Поннусвами, С. (2005). Основы комплексного анализа (2-е изд.). Нью-Дели; Мумбаи: Нароса. ISBN 978-81-7319-629-4.
  • Бирдон, Алан (1979). Комплексный анализ: принцип аргументации в анализе и топологии . Чичестер: Вайли. ISBN 0-471-99671-8.
  • Боровский, Ефрем; Борвейн, Джонатан (2002) [1-е изд. 1989 как математический словарь . Математика . Словарь Коллинза (2-е изд.). Глазго: HarperCollins . ISBN 0-00-710295-X.

Гиперболические функции

Подобно тригонометрическим функциям, гиперболические функции для комплексного числа также доступны в модуле .

import cmath

a = 3 + 4j

print('Hyperbolic Sine:', cmath.sinh(a))
print('Hyperbolic Cosine:', cmath.cosh(a))
print('Hyperbolic Tangent:', cmath.tanh(a))

print('Inverse Hyperbolic Sine:', cmath.asinh(a))
print('Inverse Hyperbolic Cosine:', cmath.acosh(a))
print('Inverse Hyperbolic Tangent:', cmath.atanh(a))

Вывод:

Hyperbolic Sine: (-6.5481200409110025-7.61923172032141j)
Hyperbolic Cosine: (-6.580663040551157-7.581552742746545j)
Hyperbolic Tangent: (1.000709536067233+0.00490825806749606j)
Inverse Hyperbolic Sine: (2.2999140408792695+0.9176168533514787j)
Inverse Hyperbolic Cosine: (2.305509031243477+0.9368124611557198j)
Inverse Hyperbolic Tangent: (0.11750090731143388+1.4099210495965755j)

Извлечение корня.

Рассмотрим уравнение
$$
z^n=a,\label{ref22}
$$
где \(a\neq 0\) — комплексное число, \(n\) — натуральное число.

Если \(z=re^{i\varphi}, \ a=\rho e^{i\theta}\), то уравнение \eqref{ref22} примет вид
$$
r^n e^{in\varphi}=\rho e^{i\theta},\nonumber
$$
откуда
$$
r^n=\rho,\quad n\varphi=\theta+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},\nonumber
$$
и поэтому
$$
r=\sqrt{\rho},\qquad \varphi_k=\frac{1}{n}(\theta+2k\pi),\quad k\in \mathbb{Z},\label{ref23}
$$
то есть числа
$$
z_k=\sqrt{\rho}e^{i\varphi_k}\label{ref24}
$$
являются корнями уравнения \eqref{ref22} и других корней это уравнение не имеет.

Заметим, что числа \(z_0,\ z_1,\ …,\ z_{n-1}\) различны, так как их аргументы \(\displaystyle\varphi_0=\frac{\theta}{n},\ \varphi_1=\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi}{n},\ …,\ \varphi_{n-1}=\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi(n-1)}{n}\) различны и отличаются друг от друга меньше, чем на \(2\pi\). Далее, \(z_n = z_0\), так как \(|z_n| = |z_0|=\displaystyle\sqrt{\rho}\) и \(\varphi_n=\varphi_0+2\pi\). Аналогично, \(z_{n+1} = z_1,\ z_{-1} = z_{n-1}\) и т. д.

Итак, при \(a\neq 0\) уравнение \eqref{ref22} имеет ровно \(n\) различных корней, определяемых формулами \eqref{ref23} и \eqref{ref24}, где \(k=0,1,…,n-1\).

На комплексной плоскости точки \(z_k\ (k=\overline{0,n-1})\) располагаются в вершинах правильного \(n\)-угольника, вписанного в окружность радиуса \(\displaystyle \sqrt{\rho}\) с центром в точке 0.

Пример 5.

Найти все корни уравнения \(z^4 = 1 + i\).

\(\triangle\) Корни \(z_k\ (k = \overline{0,3})\) этого уравнения определяются формулами \eqref{ref23} и \eqref{ref24}, где \(\displaystyle \rho=|1 + i| =\sqrt{2},\ \theta=\frac{\pi}{4}\), то есть
$$
z_k=\sqrt{2}e^{i\varphi_k},\nonumber
$$
где
$$
\varphi_k=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{2},\quad k=0,1,2,3.\nonumber
$$

Рис. 31.6

Точки \(z_k\) располагаются в вершинах квадрата (рис. 31.6). \(\blacktriangle\)

Главное значение

Рис. 3. Главное значение Arg синей точки в точке 1 + i равно π / 4 . Красная линия здесь представляет собой срез ветки и соответствует двум красным линиям на рисунке 4, если смотреть вертикально друг над другом).

Поскольку полный поворот вокруг начала координат оставляет комплексное число неизменным, есть много вариантов, которые можно сделать , обведя начало координат любое количество раз. Это показано на рисунке 2, представляющем многозначную (многозначную) функцию , где вертикальная линия (не показанная на рисунке) разрезает поверхность на высотах, представляющих все возможные варианты угла для этой точки.
φ{\ displaystyle \ varphi}ж(Икс,у)знак равноаргумент⁡(Икс+яу){\ Displaystyle е (х, y) = \ arg (х + iy)}

Когда требуется четко определенная функция, то обычный выбор, известный как главное значение , — это значение в открытом-закрытом интервале (- π rad, π rad] , то есть от — π до π радиан , исключая — π сам рад (эквивалент от -180 до +180 градусов , исключая -180 °). Это представляет собой угол до половины полного круга от положительной вещественной оси в любом направлении.

Некоторые авторы определяют диапазон главного значения как находящийся в закрытом-открытом интервале [0, 2 π ) .

Обозначение

Главное значение иногда имеет начальную букву с заглавной буквы, как в Arg z , особенно когда рассматривается общая версия аргумента

Обратите внимание, что обозначения различаются, поэтому arg и Arg могут быть заменены в разных текстах.. Набор всех возможных значений аргумента можно записать в терминах Arg как:

Набор всех возможных значений аргумента можно записать в терминах Arg как:

аргумент⁡(z)∈{Arg⁡(z)+2πп∣п∈Z}.{\ displaystyle \ arg (z) \ in \ {\ operatorname {Arg} (z) +2 \ pi n \ mid n \ in \ mathbb {Z} \}.}

так же

Arg⁡(z)знак равно{аргумент⁡(z)-2πп∣п∈Z∧-π<аргумент⁡(z)-2πп≤π}.{\ Displaystyle \ OperatorName {Arg} (z) = \ {\ arg (z) -2 \ pi n \ mid n \ in \ mathbb {Z} \ land — \ pi <\ arg (z) -2 \ pi n \ leq \ pi \}.}

Операции с комплексными числами

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел. Например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше.

Сложение и вычитание комплексных чисел

Комплексные числа могут складываться и вычитаться как обычные.

Рассмотрим точку, обозначающую число 1+2i. Прибавим к нему число 3+1i. Можно сложить столбиком и получить 4+3i. Геометрически это обычное сложение векторов.

Разность комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, представляет собой комплексное число, действительная часть которого и коэффициент при мнимой части равны соответственно разности действительных частей и разности коэффициентов при мнимой части уменьшаемого и вычитаемого.

В общем виде вычитание комплексных чисел z1 = a+bi и z2 = c+di можно записать так: z1-z2 = (a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i.

Несколько примеров вычитания:

  • (5+9i)-(3+24i) = (5-3)+(9-24)i = 2-15i.
  • (-4+16i)-(11-8i) = (-4-11)+(16+8)i = -15+24i.

Умножение и деление комплексных чисел

Комплексные числа перемежаются точно также, как и действительные числа. Рассмотрим несколько примеров.

2×(1+1i) = 2+2i. Геометрически умножение на два выглядит как растягивание прямой с точкой на плоскости в два раза.

Умножать на i также не сложно. Известно, что i отвечает четверти оборота. Например, чтобы умножить 3+1i на i, достаточно повернуть точку на четверть оборота. Получаем -1+3i.

Умножим два комплексных числа 2+1,5i и -1+2,4i:

Сначала нужно умножить (-1+2,4 i) на два, затем на 1,5i. Далее складываются результаты. (2+1,5i)×(-1+2,4i) = 2(-1+2,4i)+1,5i(-1+2,4i) = -2+4,8i-1,5i+3,6×i×i. i в квадрате равно минус 1. Соответственно -2+4,8i-1,5i+3,6×i×i = -2+4,8i-1,5i-3,6 = -5,6+3,3i.

Частное комплексных чисел z1 = x1+y1i и z2 = x2+y2i в алгебраической форме находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное число к знаменателю:

z1÷z2 = (x1+y1i)÷(x2+y2i) = ((x1+y1i)×(x2-y2i))÷((x2+y2i)×(x2-y2i)) = ((x1×x2+y1×y2)÷(x2²+y2²)) + (i×(x2×y1-x1×y2)÷(x2²+y2²)).

Рассмотрим пример деления -1+3i на 1+2i. Используя формулу для нахождения частного, получаем:

z1÷z2 = (-1+3i)÷(1+2i) = ((-1+3i)×(1-2i))÷((1+2i)×(1-2i)) = ((-1×1+3×2)÷(1²+2²))+(i×(3×1+(-1)×(-2))÷(1²+2²)) = 5÷5+i×5÷5 = 1+i.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

      Рассмотрим плоскость с заданной на ней   Oxy   и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

      Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, и будем представлять комплексное число   z = x + i y   радиус–вектором с координатами   (x , y).

      Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью, а ось ординат Oy – мнимой осью.

      При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились,  – это и есть алгебраическая форма комплексного числа. Почему речь зашла о форме? Дело в том, что существуют еще тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел, о которых пойдет речь в следующем параграфе.

Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.

Сложение комплексных чисел

Пример 1

Сложить два комплексных числа ,

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса:  – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Пример 2

Найти разности комплексных чисел  и , если ,

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: .

Рассчитаем вторую разность:
Здесь действительная часть тоже составная:

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.

Умножение комплексных чисел

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

Пример 3

Найти произведение комплексных чисел  ,

Очевидно, что произведение следует записать так:

Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что  и быть внимательным.

Повторим, omg, школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Я распишу подробно:

Надеюсь, всем было понятно, что

Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках. Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство:

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .

В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками.

Деление комплексных чисел

Пример 4

Даны комплексные числа , . Найти частное .

Составим частное:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем бородатую формулу  и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является , то есть

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой  (помним, что и не путаемся в знаках!!!).

Распишу подробно:

Пример я подобрал «хороший», если взять два числа «от балды», то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде .

В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: . Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы: . Для любителей порешать приведу правильный ответ:

Редко, но встречается такое задание:

Пример 5

Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме ).

Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу . В знаменателе уже есть , поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение , то есть на :

Пример 6

Даны два комплексных числа , . Найти их сумму, разность, произведение и частное.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

На практике запросто могут предложить навороченный пример, где нужно выполнить много действий с комплексными числами. Никакой паники: будьте внимательны, соблюдайте правила алгебры, обычный алгебраический порядок действий, и помните, что

Возведение комплексных чисел в степень

Начнем со всеми любимого квадрата.

Пример 9

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей  и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применении известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба суммы и куба разности. Но эти формулы более актуальны для задач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ю, 10-ю или 100-ю степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень  справедлива формула:

Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел ,  нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

Аналогично для показательной формы: если , то:

Просто до безобразия.

Пример 10

Дано комплексное число , найти .

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

Тогда, по формуле Муавра:

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет  радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе . Для удобства делаем дробь правильной: , после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: . Надеюсь всем понятно, что  и  – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде: (т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя  – ни в коем случае не ошибка.

Пример 11

Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа , ,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и»,  получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Пример 13

Возвести в степень комплексные числа ,

Это пример для самостоятельного решения.

Комплекснозначные функции действительного переменного.

Если каждому значению \(t\in \) поставлено в соответствие комплексное число \(z=z(t)\), то говорят, что на отрезке \(\) задана комплекснозначная функция действительного переменного.

Пусть \(\operatorname{Re}z(t) = x(t),\ \operatorname{Im}z(t) = y(t)\), тогда \(z(t) = x(t)+iy(t)\). Функцию \(z(t)\) можно рассматривать как вектор-функцию \(z(t)=(x(t),y(t))\). Определения предела, непрерывности, производной для комплекснозначной функции аналогичны соответствующим определениям для вектор-функции.

Например, производная функции \(z(t) = x(t) + iy(t)\) определяется формулой
$$
z'(t) = x'(t) + iy'(t).\label{ref25}
$$
Следовательно, производная \(z'(t)\) существует, если существуют производные \(x'(t)\) и \(y'(t)\).

Применяя формулу \eqref{ref25} к функции \(e^{it}=\cos t+i\sin t\), получаем \((e^{it})’=-\sin t+i\cos t=i^2\sin t + i\cos t = i(\cos t + i\sin t)\), то есть
$$
(e^{it})’=i e^{it}.\label{ref26}
$$

Таким образом, формула для производной комплексной функции \(e^{it}\) имеет такой же вид, как и для функции \(e^{\alpha t}\), где \(\alpha\in\mathbb{R}\).

Определим теперь показательную функцию \(\displaystyle e^{(\alpha+i\beta)t}\), где \(\alpha,\beta\) — заданные действительные числа, \(t\) — действительное переменное. Функция \(f(t) = e^t\), где \(t\in\mathbb{R}\), удовлетворяет условию
$$
f(t_1)f(t_2) = f(t_1+t_2).\label{ref27}
$$

Аналогично функция \(e^{i\beta t}\), где \(\beta\in\mathbb{R}\), обладает свойством \eqref{ref27} в силу первого из равенств \eqref{ref18}.

Поэтому функцию    \(e^{(\alpha+i\beta)t}\) естественно определить так, чтобы для нее выполнялось условие \eqref{ref27}, то есть
$$
e^{(\alpha+i\beta)t}=e^{\alpha t}e^{i\beta t}.\nonumber
$$

Используя формулу \eqref{ref15}, отсюда находим
$$
e^{(\alpha+i\beta)t} = e^{\alpha t} (\cos \beta t+i\sin\beta t).\label{ref28}
$$
Применяя к функции \(e^{\lambda t}\), где \(\lambda=\alpha+i\beta\), правило дифференцирования \eqref{ref25}, легко показать, что
$$
(e^{\lambda t})=\lambda e^{\lambda t},\quad \lambda=\alpha+i\beta.\label{ref29}
$$

По аналогии с производной неопределенный интеграл от комплекснозначной функции \(z(t)=x(t)+iy(t)\) определяется формулой
$$
\int z(t) dt = \int x(t) dt + i\int y(t) dt.\nonumber
$$

Если комплексная функция \(\omega(t) = \xi(t) + i\eta (t)\) такова, что \(\omega'(t)=z(t)\), то
$$
\int z(t)=\int \omega'(t)dt=\int \xi'(t)dt+i\int \eta'(t)dt = \xi(t) + C_1 + i\eta(t)+iC_2.\nonumber
$$
Следовательно,
$$
\int z(t) dt = \omega(t) + C,\quad C = C_1+iC_2.\nonumber
$$
Применяя это утверждение к функции \(e^{(\alpha+i\beta)t}\) и используя формулу \eqref{ref29}, получаем
$$
\int e^{(\alpha+i\beta)t}=\displaystyle \frac{e^{(\alpha+i\beta)t}}{\alpha+i\beta}+C_1+iC_2.\label{ref30}
$$

Выделяя в равенстве \eqref{ref30} действительные и мнимые части, находим
$$
\int e^{\alpha t}\cos\beta t dt + i\int e^{\alpha t}\sin\beta t dt = \frac{\alpha-i\beta}{\alpha^2+\beta^2}e^{\alpha t}(\cos\beta t+i\sin\beta t)+C_1+C_2,\nonumber
$$
откуда получаем
$$
\int e^{\alpha t}\cos\beta t dt=\frac{e^{\alpha t}}{\alpha^2+\beta^2}(\alpha\cos\beta t+\beta\sin\beta t)+C_1,\label{ref31}
$$
$$
\int e^{\alpha t}\sin\beta t dt=\frac{e^{\alpha t}}{\alpha^2+\beta^2}(\alpha\sin\beta t-\beta\cos\beta t)+C_2,\label{ref32}
$$

Заметим, что формула \eqref{ref31} была получена с помощью в .

Свойства модуля числа

Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.

1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:

|a|0 

2. Модуль положительного числа равен самому числу.

|a| = a, если a > 0

3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

|−a| = a, если a

4. Модуль нуля равен нулю.

|0| = 0, если a = 0

5. Противоположные числа имеют равные модули.

|−a| = |a| = a

6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.

|a b| = |a| |b|, когда

a·b 0

или

−(a·b), когда a·b<0

7. Модуль частного равен частному от деления модуля числа числителя на модуль числа знаменателя: