Калькулятор комплексных чисел. вычисление выражений с комплексными числами

Основные действия с комплексными числами

Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:

  • сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
  • умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac — bd) + (bc + ad)i
  • деление:
    a + bi
    c + di
    =
    (a + bi)(c — di)
    c2 + d2
    =
    (ac + bd)
    c2 + d2
    +
    (bc — ad)
    c2 + d2
    i

Примеры

Найти сумму чисел и :
Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 — 2 = 5.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i
Полученное число и будет ответом: + =

Найти разность чисел и :
Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом: — =

Найти произведение чисел и :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 — 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число и будет ответом: * =

Найти отношение чисел и :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 — 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 — 75·4) / 25 = -18.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 — 18i
Полученное число и будет ответом: / =

Мир математики

Достойный внимания сайт, предоставляющий после полученного ответа подробные пояснения. Работать с ним также очень легко:

вводите условия в соответствующие поля;

  • выбираете нужное действие;
  • после нажатия на выбранную операцию будет начато вычисление и выдан результат.

Здесь вы найдете при необходимости подробную инструкцию для работы, так что точно не запутаетесь. Доступны разные варианты вычислительных сервисов, к примеру, матричный, инженерный и прочие.

Полезный контент:

  • Формат heic, чем открыть, что это такое?
  • Перевод с английского на русский с транскрипцией — лучшие онлайн сервисы
  • Видеодрайвер перестал отвечать и был восстановлен — что за ошибка?
  • Запись видео с экрана компьютера — какие программы в этом помогут?
  • Караоке онлайн петь бесплатно с баллами — какие сервисы в этом помогут

Показательная форма комплексного числа:

Символом $e^{i\varphi}$ обозначается комплексное число $\cos\varphi+i\sin\varphi.$ С помощью этого обозначения всякое комплексное число $z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ может быть представлено в показательной форме $$z=|z|e^{i\varphi}.$$

Примеры.

Представить в показательной форме следующие комплексные числа:

1.475. $\frac{7+24i}{5}.$

Решение. 

Приведем число $z=\frac{7+24i}{5}$ к алгебраическому виду:

$$z=x+iy=\frac{7+24i}{5}=\frac{7}{5}+\frac{24}{5}i.$$

$$|z|=\sqrt{\left(\frac{7}{5}\right)^2+\left(\frac{24}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{49+576}{25}}=\sqrt{\frac{625}{25}}=\sqrt{25}=5.$$

$$tg\varphi=\frac{y}{x}=\frac{\frac{24}{5}}{\frac{7}{5}}=\frac{24}{7}.$$ Поскольку число $z$ принадлежит первой четверти, то $\varphi=arctg\frac{24}{7}.$

Таким образом, $z=5e^{i arctg\frac{24}{7}}.$

Ответ: $z=5e^{i arctg\frac{24}{7}}.$

  {jumi}

1.479. $\sin\alpha-i\cos\alpha.$

Решение.

$$z=x+iy=\sin\alpha-i\cos\alpha\Rightarrow \,\,x=\sin\alpha,\,\,y=-cos\alpha.$$

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=1.$$

$$tg\varphi=\frac{y}{x}=\frac{-\cos\alpha}{\sin\alpha}=-ctg\alpha=tg(\alpha+\frac{\pi}{2})=tg(\alpha+\frac{3\pi}{2}).$$

Кроме этого должны выполняться условия

$$\cos\varphi=\frac{x}{|z|}=\sin\alpha;\qquad \sin\varphi=\frac{y}{|z|}=\cos\alpha.$$

Отсюда находим

$$\varphi=\alpha+\frac{3\pi}{2}.$$

Таким образом, $$z=\sin\alpha-i\cos\alpha=e^{i\left(\alpha+\frac{3\pi}{2}\right)}.$$

Ответ: $e^{i\left(\alpha+\frac{3\pi}{2}\right)}.$

1.482 (а). Данные числа $z_1$ и $z_2$ представить в показательной форме и выполнить указанные действия над ними:

$z_1z_2;$ $\frac{z^2_1}{z_2},$ если $z_1=2\sqrt 3-2i,$ $z_2=3-3\sqrt 3i.$

Решение.

Запишем числа $z_1$ и $z_2$ в показательной форме:

$$|z_1|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(2\sqrt 3)^2+(-2)^2}=\sqrt{16}=4.$$

$$tg\varphi=\frac{y}{x}=\frac{-2}{2\sqrt 3}=-\frac{1}{\sqrt 3}.$$

Поскольку число $z_1$ принадлежит четвертой четверти, то $\varphi_1=arctg{-\frac{1}{\sqrt 3}}=-\frac{\pi}{6}.$

Отсюда $$z_1=4e^{-i\frac{\pi}{6}}.$$

$$|z_2|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{3^2+(-3\sqrt 3)^2}=\sqrt{36}=6.$$

$$tg\varphi=\frac{y}{x}=\frac{-3\sqrt 3}{3}=-\sqrt 3.$$

Поскольку число $z_2$ принадлежит четвертой четверти, то $\varphi_2=arctg{\sqrt 3}=-\frac{\pi}{3}.$

Отсюда $$z_2=6e^{-i\frac{\pi}{3}}.$$

Далее находим $z_1z_2$ и $\frac{z^2_1}{z_2}:$

$$z_1z_2=4e^{-i\frac{\pi}{6}}6e^{-\frac{\pi}{3}}=24e^{i\left(\frac{-\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right)}=24e^{-i\frac{\pi}{2}}=$$

$$=24\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=24(0-1)=-24.$$ 

$$\frac{z^2_1}{z_2}=\frac{(4e^{-i\frac{\pi}{6}})^2}{6e^{-\frac{\pi}{3}}}=\frac{16}{6}e^{i\left(\frac{-2\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{8}{3}e^{i\cdot 0}=\frac{8}{3}.$$

Ответ: $-24, \frac{8}{3}.$

Домашнее задание.

Следующие комплексные числа представить в тригонометрической форме и изобразить точками на комплексной плоскости:

1.436. $1-i\sqrt 3.$

Ответ: $2\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right).$

1.437. $-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}.$

Ответ: $\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}.$

1.440. $\sin\frac{\pi}{3}+i\cos\frac{\pi}{3}.$

Ответ: $\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}.$

Представить в показательной форме следующие комплексные числа:

1.476. $5-12i.$

Ответ: $13e^{-i arctg\left(-\frac{12}{5}\right)}.$

1.477. $-3-4i.$

Ответ:  $5e^{i arctg\left(\frac{4}{3}+\pi\right)}.$

1.479.$\sin\alpha-i\cos\alpha.$

Ответ:  $e^{i \left(\alpha+\frac{3\pi}{2}\right)}.$

1.480. $\sin\alpha+i(1-\cos\alpha).$

Ответ:  $2\sin\frac{\pi}{2}e^{i \frac{\alpha}{2}}.$

1.482 (б). Данные числа $z_1$ и $z_2$ представить в показательной форме и выполнить указанные действия над ними:

$z^2_1\overline z_2;$ $\frac{\overline z_2}{z_1},$ если $z_1=-\sqrt 3+i\sqrt 2,$ $z_2=\sqrt 8-\sqrt 8.$

Ответ:  $16e^{i\frac{7\pi}{4}}; 2e^{-i\frac{\pi}{2}}.$