Бином ньютона

История

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке.
Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

Комментарии к калькулятору

Количество комментариев: 3Похожие калькуляторыМатематика

Калькулятор числа перестановок позволяет вычислить число возможных сочетаний из заданного количества элементов.

Перейти к расчетуМатематика

Калькулятор числа сочетаний позволяет вычислить число возможных сочетаний из заданного количества объектов n по k.

Перейти к расчетуМатематика

Калькулятор числа размещений вычисляет число возможных размещений из заданного количества объектов n по k.

  • https://nauka.club/matematika/binom-nyutona.html
  • https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/810956
  • http://www.cleverstudents.ru/expressions/binomial_theorem.html
  • https://bbf.ru/calculators/183/
  • https://poformule.ru/matematika/razlozhenie-binoma-nyutona

Суммы биномиальных коэффициентов

$$ \sum_{j=0}^n C_n^j =C_n^0+C_n^1+C_n^2+\dots+C_n^n = 2^n \ . $$
$$ \sum_{j=0}^n (-1)^jC_n^j = C_n^0-C_n^1+C_n^2-\dots+(-1)^nC_n^n = 0 \ . $$
$$ \sum_{j=2}^n C_j^2= C_2^2+C_3^2+\dots+C_n^2= \frac{(n-1)n(n+1)}{6}=C_{n+1}^3 \ . $$
$$ \sum_{m=0}^n C_{\ell+m-1}^{\ell-1}=C_{\ell-1}^{\ell-1}+C_{\ell}^{\ell-1}+C_{\ell+1}^{\ell-1}+\dots+C_{n+\ell-1}^{\ell-1} = C_{n+\ell}^{\ell} \, . $$
Формулы Вандермонда:
$$ \sum_{j=0}^n (C_n^j)^2 = (C_n^0)^2+(C_n^1)^2+(C_n^2)^2+\dots+(C_n^n)^2 = C_{2n}^n \ ; $$
$$ \sum_{j=0}^k C_n^jC_m^{k-j}=C_n^0C_m^k+C_n^1C_m^{k-1}+\dots+C_n^{k-1}C_m^1+C_n^kC_m^0=C_{m+n}^k \ .$$
Связь с :
$$ \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} C_{n-j}^j = C_n^0+C_{n-1}^1+C_{n-2}^2+\dots
= F_n \ .
$$
Здесь $ \lfloor \ \ \ \rfloor $ — . Идея доказательства



ЗДЕСЬ.

П

Пример.
$$C_8^0+C_7^1+C_6^2+C_5^3+C_4^4=34=F_8 \ . $$

Связь с :
$$ C_{2n-2}^{n-1}-C_{2n-2}^{n}=C_{n-1} \, . $$

Определение термина

Моном — выражение вида axn, при этом переменных может быть больше одной. Например, к мономам относятся выражения 5×3, 4xy2 или 12xyz3. Бином — это выражение, которое состоит из двух мономов. Следовательно, это может быть, как 5×3 + 4xy2, так и 2x + 1. Последний представляет собой линейный бином, который в общем виде записывается как ax + b.

Бином Ньютона

Бином Ньютона — это формула разложения на слагаемые произведения вида (a+b)n, в результате чего всегда образуется полином. Если показатель степени n меньше 3 включительно, то выражение раскладывается по формулам сокращенного умножения, таким как квадрат и куб суммы/разности. Для степеней выше 3 формула разложения значительно усложняется, как и количество мономов, входящих в результирующий многочлен. Для упрощения поиска коэффициентов используется треугольник Паскаля, в котором номер строки совпадает со степенью произведения.

Биномиальные уравнения

Биномиальное уравнение — это равенство, которое содержит в себе два члена. Наиболее простыми биномиальными равенствами считаются линейные, которые в общем виде записываются как aZ+b. Более сложные биномиальные равенства могут содержать несколько переменных с разными степенями. В этой статье мы рассмотрим алгоритм умножения двух линейных биномиальных уравнений.

История

Частные случаи биномиальной теоремы были известны по крайней мере с 4 века до нашей эры, когда греческий математик Евклид упомянул частный случай биномиальной теоремы для показателя степени  2 . Есть свидетельства того, что биномиальная теорема для кубов была известна в Индии в VI веке нашей эры.

Биномиальные коэффициенты как комбинаторные величины, выражающие количество способов выбора k объектов из n без замены, интересовали древнеиндийских математиков. Самая ранняя известная ссылка на эту комбинаторную проблему — это Чандамшастра индийского лирика Пингалы (ок. 200 г. до н. Э.), В которой содержится метод ее решения. Комментатор Халаюда из 10 века нашей эры объясняет этот метод, используя то, что теперь известно как треугольник Паскаля . К 6 веку н.э., индийские математики , вероятно , знали , как выразить это как фактор , и четкое изложение этого правила можно найти в тексте 12 — го века Lilavati по Бхаскару .
п!(п-k)!k!{\ displaystyle {\ frac {n!} {(nk)! k!}}}

Первую формулировку биномиальной теоремы и таблицу биномиальных коэффициентов, насколько нам известно, можно найти в работе аль-Караджи , цитируемой аль-Самав’алом в его «аль-Бахир». Аль-Караджи описал треугольную структуру биномиальных коэффициентов, а также представил математическое доказательство как биномиальной теоремы, так и треугольника Паскаля, используя раннюю форму математической индукции . Персидский поэт и математик Омар Хайям, вероятно, был знаком с этой формулой до высших порядков, хотя многие из его математических работ утеряны. Биномиальные разложения малых степеней были известны в математических работах 13 века Ян Хуэй, а также Чу Ши-Цзе . Ян Хуэй приписывает этот метод гораздо более раннему тексту Цзя Сянь 11-го века , хотя эти записи теперь также утеряны.

В 1544 году , Михаэль Штифель ввел термин «бином коэффициент» и показал , как использовать их , чтобы выразить в терминах , с помощью «треугольник Паскаля». Блез Паскаль всесторонне изучил одноименный треугольник в своей работе Traité dus Triangle Arithmétique . Однако последовательность чисел была уже известна европейским математикам позднего Возрождения, включая Стифеля, Никколо Фонтана Тарталья и Симона Стевина .
(1+а)п{\ Displaystyle (1 + а) ^ {п}}(1+а)п-1{\ Displaystyle (1 + а) ^ {п-1}}

Исааку Ньютону обычно приписывают обобщенную биномиальную теорему, справедливую для любого рационального показателя степени.

Доказательства

Комбинаторное доказательство

Пример

Коэффициент при xy 2 в

(Икс+у)3знак равно(Икс+у)(Икс+у)(Икс+у)знак равноИксИксИкс+ИксИксу+ИксуИкс+Иксуу_+уИксИкс+уИксу_+ууИкс_+ууузнак равноИкс3+3Икс2у+3Иксу2_+у3{\ displaystyle {\ begin {align} (x + y) ^ {3} & = (x + y) (x + y) (x + y) \\ & = xxx + xxy + xyx + {\ underline {xyy} } + yxx + {\ underline {yxy}} + {\ underline {yyx}} + yyy \\ & = x ^ {3} + 3x ^ {2} y + {\ underline {3xy ^ {2}}} + y ^ {3} \ end {align}}}

равно, потому что есть три строки x , y длины 3 с ровно двумя y s, а именно,
(32)знак равно3{\ displaystyle {\ tbinom {3} {2}} = 3}

Иксуу,уИксу,ууИкс,{\ Displaystyle xyy, \; yxy, \; yyx,}

соответствующие трем двухэлементным подмножествам {1, 2, 3} , а именно,

{2,3},{1,3},{1,2},{\ Displaystyle \ {2,3 \}, \; \ {1,3 \}, \; \ {1,2 \},}

где каждое подмножество определяет позиции y в соответствующей строке.

Общий случай

Расширение ( x + y ) n дает сумму 2 n произведений в форме e 1 e 2e n, где каждое e i равно x или  y . Перестановка коэффициентов показывает, что каждый продукт равен x nk y k для некоторого k от до  n . Для данного k последовательно доказываются следующие равенства:

  • количество копий x nk y k в расширении
  • количество n -символов x , y строк, у которых y ровно в k позициях
  • количество k -элементных подмножеств {1, 2, …, n }
  • (пk),{\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}},}либо по определению, либо с помощью короткого комбинаторного аргумента, если определяется как(пk){\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}п!k!(п-k)!.{\ displaystyle {\ tfrac {n!} {k! (nk)!}}.}

Это доказывает биномиальную теорему.

Индуктивное доказательство

Индукция дает еще одно доказательство биномиальной теоремы. Когда n = 0 , обе стороны равны 1 , так как x = 1 и теперь предположим, что равенство выполняется для данного n ; мы докажем это для n + 1 . Для j , k ≥ 0 , пусть f ( x , y )] j , k обозначает коэффициент при x j y k в полиноме f ( x , y ) . По предположению индукции ( x + y ) n — это многочлен от x и y, такой что [( x + y ) nj , k равно, если j + k = n , и 0 в противном случае. Личность
()знак равно1.{\ displaystyle {\ tbinom {0} {0}} = 1.}(пk){\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}

(Икс+у)п+1знак равноИкс(Икс+у)п+у(Икс+у)п{\ displaystyle (x + y) ^ {n + 1} = x (x + y) ^ {n} + y (x + y) ^ {n}}

показывает, что ( x + y ) n +1 также является многочленом от x и y , и

(Икс+у)п+1j,kзнак равно(Икс+у)пj-1,k+(Икс+у)пj,k-1,{\ displaystyle _ {j, k} = _ {j-1, k} + _ {j, k-1},}

поскольку если j + k = n + 1 , то ( j — 1) + k = n и j + ( k — 1) = n . Теперь правая часть

(пk)+(пk-1)знак равно(п+1k),{\ displaystyle {\ binom {n} {k}} + {\ binom {n} {k-1}} = {\ binom {n + 1} {k}},}

по идентичности Паскаля . С другой стороны, если j + kn + 1 , то ( j — 1) + kn и j + ( k — 1) ≠ n , поэтому мы получаем 0 + 0 = 0 . Таким образом

(Икс+у)п+1знак равно∑kзнак равноп+1(п+1k)Иксп+1-kуk,{\ displaystyle (x + y) ^ {n + 1} = \ sum _ {k = 0} ^ {n + 1} {\ binom {n + 1} {k}} x ^ {n + 1-k} у ^ {к},}

что является индуктивной гипотезой с заменой n + 1 на n и завершает индуктивный шаг.

Алгоритм умножения

Произведение двух биномиальных равенств в общем виде записывается как:

(aZ+b) × (cZ + d),

где Z — неизвестное, a, b, c, d — числа.

Умножение многочлена на многочлен производится по стандартному правилу: каждый член первого полинома умножается на каждый член второго полинома, после чего мономы складываются и приводятся подобные. На практике это выглядит следующим образом:

  • умножим первый член бинома (aZ+b) на каждый член бинома (cZ + d) и получим aZ × cZ + aZ × d =acZ2 + adZ;
  • умножим второй член первого бинома на каждый член второго и получим b × cZ + b × d = bcZ + bd;
  • суммируем все составляющие и запишем результат acZ2 + adZ + bcZ + bd.

Числовые значения в конкретных примерах всегда вычисляются, поэтому мы легко можем привести подобные и принять, что сумма adZ + bcZ = BZ. Остальные числовые произведения также вычисляются и заменяются большими буквами acZ2 = AZ2 и bd = C. Таким образом, в результате мы получаем полином вида:

AZ2 + BZ + C.

Если же бином возводится в квадрат, то легко применить сокращенную формулу умножения квадрат/разность суммы и получить тот же самый результат.

Проверка в действии

Начать лучше с решения простой задачи, которую учитель покажет классу на уроке алгебры. Например, нужно расширить (2x-3) ³. Это было бы не слишком трудно сделать, воспользовавшись онлайн-калькулятором. Но нужно использовать бином, когда придётся столкнуться с более крупными расширениями, такими как двучлены, возведённые в 4, 5, 6, … степени.

Для начала нужно определить два члена из бинома (положения x и y формулы) и степени (буква n), до которой нужно расширить бином. Например, чтобы расширить (2x-3) ³, два члена составляют 2x и -3, а значение мощности (или n) равно 3

Следует отметить, что всякий раз, когда в биноме есть знак вычитания, очень важно помнить, что минус следует использовать только в качестве отрицательного символа в сопутствующем термине.

Замечательная вещь в теореме о биноме — это то, что она позволяет найти расширенный многочлен без умножения множества биномов вместе. Довольно интересное свойство. Оказывается, что число слагаемых в искомом расширенном полиноме всегда будет на единицу больше, чем сила, которую расширяют. Это означает, что необходимо создавать многочлен с четырьмя членами, так как мощность в этом примере равна 3.

Каждый член будет иметь (2x) и (-3), а также формулу «n выбирает k», где n = 3. Нужно записать это 4 раза, по одному на каждый член, оставив значение k в «n выбирает k». На этом этапе подсчёта значения степеней не заполняются.

Далее нужно заполнить k-значения и полномочия. Здесь можно следовать формуле суммирования, увеличивая мощность для каждого члена. Но довольно просто следовать шаблонам. Значения k в «n выбирает k» начинаются с k = 0 и увеличиваются на 1 в каждом члене. Последний член должен заканчиваться на n, равный k, в этом случае n = 3 и k = 3. Затем нужно добавить полномочия на (2x) и (-3).

Включение (2x) начнётся с n-значения, в этом случае — 3, и будет уменьшаться на 1 для каждого слагаемого, пока не доберётся до нуля. Включение (-3) будет начинаться с нуля и увеличиваться на единицу каждый раз, пока не доберётся до n или 3 в этой задаче. Итак, половина дела сделана: (³ₒ)(2x)³‾⁰˭³ (-3)⁰ + (³1)(2x) 3-1=2 (-3)1 + (³2)(2x) 3-2=1 (-3)2 + (³3)(2x) 3-3=0 (-3)3.

Поскольку любое значение, возведённое в ноль, равно 1, можно упростить слагаемые с нулевыми степенями. Далее, двигаясь вперёд и применяя силы, целесообразно упростить все возможные сочетания.

Обобщения

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции

(1+x)r{\displaystyle (1+x)^{r}}

в ряд Тейлора:

(1+x)r=∑k=∞(rk)xk{\displaystyle (1+x)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}},

где r может быть произвольным комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

(rk)=1k!∏n=k−1(r−n)=r(r−1)(r−2)⋯(r−(k−1))k!{\displaystyle {r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}}}

При этом ряд

(1+z)α=1+αz+α(α−1)2z2+…+α(α−1)⋯(α−n+1)n!zn+…{\displaystyle (1+z)^{\alpha }=1+\alpha {}z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}+…+{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}z^{n}+…}.

сходится при

|z|≤1{\displaystyle |z|\leq 1}

В частности, при

z=1m{\displaystyle z={\frac {1}{m}}}

и

α=x⋅m{\displaystyle \alpha =x\cdot m}

получается тождество

(1+1m)xm=1+x+xm(xm−1)2m2+…+xm(xm−1)⋯(xm−n+1)n!mn+….{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{xm}=1+x+{\frac {xm(xm-1)}{2\;m^{2}}}+…+{\frac {xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)}{n!\;m^{n}}}+\dots .}

Переходя к пределу при

m→∞{\displaystyle m\to \infty }

и используя второй замечательный предел

limm→∞(1+1m)m=e{\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}}=e}

, выводим тождество

ex=1+x+x22+⋯+xnn!+…,{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\dots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\dots ,}

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема

Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

(x1+x2+⋯+xm)n=∑kj⩾k1+k2+⋯+km=n(nk1,k2,…,km)x1k1…xmkm,{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum \limits _{k_{j}\geqslant 0 \atop k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}\ldots x_{m}^{k_{m}},}

где

(nk1,k2,…,km)=n!k1!k2!⋯km!{\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m}!}}}

 — мультиномиальные коэффициенты. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам

kj{\displaystyle k_{j}}

, сумма которых равна n (то есть по всем композициям числа n длины m). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения

xj=1{\displaystyle x_{j}^{0}=1}

, даже если

xj={\displaystyle x_{j}=0}

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по n, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.

При

m=2{\displaystyle m=2}

, выражая

k2=n−k1{\displaystyle k_{2}=n-k_{1}}

, получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла

Пусть

Bn(as)=Bn(a1,…,an){\displaystyle B_{n}(a_{s})=B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n})}

и

B=1{\displaystyle B_{0}=1}

,тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

Bn(as+bs)=∑i+j=n(ni, j)Bi(as)Bj(bs).{\displaystyle B_{n}({{a_{s}}+{b_{s}}})=\sum _{i+j=n}{n \choose i,\ j}{B_{i}}({a_{s}}){B_{j}}({b_{s}}).}

Короткий путь

Последняя часть должна решить формулу комбинации. Очевидный способ сделать это — применить формулу комбинации для каждой задачи. Но стоит пойти на хитрость и ускорить вычисления, используя треугольник Паскаля, образованный путём создания треугольника с тремя начальными единицами. После этого для каждой строки нужно просто написать 1 на обоих концах и найти средние числа, добавляя два значения непосредственно над ним.

Теперь хорошая часть. В Треугольнике Паскаля спрятаны все ответы — это настоящая шпаргалка. Диаграмма ниже показывает, где находятся скрытые «n выбирает k».

Для рассматриваемой задачи нужно решить: 3 выбирает 0, 3 выбирает 1, 3 выбирает 2 и 3 выбирает 3. Все эти значения содержатся в четвёртой строке. Итак, всё, что нужно сделать, это посмотреть на четвёртый ряд треугольника и сделать выводы, сопоставив ответы. Четвёртая строка имеет значения: 1, 3, 3, 1. Поэтому надо просто заменить n на выбор k. Получается следующее: (1)8×3 + (3)4×2(-3) + (3)(2x)(9) + (1)(-27).

Наконец, всё, что нужно сделать — умножить и упростить каждый термин до его простейшей формы. Стоит проверить окончательный ответ, чтобы убедиться, что полномочия каждого термина всё ещё увеличивают степень первоначального бинома.

Примеры с решением на Бином Ньютона

1. В разложении коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго члена. Найти свободный член, т. е. член разложения, не зависящий от x (членом, не зависящим от х, будет тот, который содержит х в нулевой степени).

Решение:

Отсюда

Приравняв показатель степени буквы х к нулю, получим:

Отсюда

Искомым свободным членом будет четвертый, и он будет равен т. е. 165.

2. Сколько рациональных членов содержится в разложении

Решение:

Для рациональности члена разложения необходимо, чтобы число k было кратно четырем. Но тогда будет числом четным и будет числом рациональным.

Число k может принимать целые значения 0, 1, 2….. 100. Среди этих чисел кратными четырем будут

Пользуясь формулой получим: или Следовательно, в разложении рациональных членов будет 26.

3. Доказать, что значение выражения

где n — натуральное число, делится на 9.

Доказательство:

Каждое слагаемое последней суммы делится на 9, следовательно, и вся эта сумма, т. е. значение выражения делится на 9, что и требовалось доказать.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.

В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:

«Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность».

Знаменита цитата из «Мастера и Маргариты» М. А. Булгакова: «Подумаешь, бином Ньютона!».

Об этой специфической роли бинома Ньютона в культуре писал известный математик В. А. Успенский.

Утверждение теоремы

Согласно теореме, можно разложить любую степень x + y в сумму вида (x + y)n = (nₒ) x n y + (n1) x n — 1 y 1 + (n2) x n — 2 y 2 + ··· + (n n — 1) x1y n — 1 + (n n) x1y n — 1+ (n n) xy n , где каждый (nk) является положительным целым числом, известным как коэффициент бинома.

Когда показатель степени равен нулю, соответствующее выражение степени принимается равным 1 и этот мультипликативный фактор часто исключается из формулы. Нередко можно видеть правую сторону уравнения, записанную в виде (nₒ) x n + ···. Эта формула также называется биноминальным тождеством.

Наиболее простой пример формулы бинома Ньютона — решение для квадрата из х + у, например, (x + y)2 = x2 + 2xy + y2. Биномиальные коэффициенты 1, 2, 1, фигурирующие в этом расширении, соответствуют второму ряду треугольника Паскаля

Следует обратить внимание на общепринятые нормы, где верхняя «1» треугольника считается строкой 0

Коэффициенты более высоких степеней x + y соответствуют нижним строкам паскалевского треугольника. Из расчётов можно наблюдать несколько закономерностей. В общем случае для разложения (x + y) n:

  • y начинаются с 0 и увеличиваются на 1 (пока не достигнут n степени);
  • число слагаемых в разложении перед объединением одинаковых слагаемых является суммой коэффициентов и равно 2n;
  • после объединения одинаковых слагаемых в разложении получится n + 1.

Для положительных значений a и b теорема с n = 2 является геометрически очевидным фактом. Это значит, что квадрат стороны a + b может быть разделён: на квадрат стороны a и b, на два прямоугольника со сторонами a и b. При n = 3 теорема утверждает, что из куба со стороной a + b можно получить: два куба со сторонами a и b, соответственно, три прямоугольника a × a × b и столько же a × b × b.

В исчислении геометрическое доказательство бинома Ньютона выглядит следующим образом: (x n)′ = nx n-1. Если установить a = x, b = ∆x, интерпретируя b как бесконечно малое изменение в a, то вырисовывается следующая картина: бесконечно малое изменение объёма n-мерного гиперкуба (x + ∆x) n, где коэффициент линейного члена (в ∆x ) является nx n-1, площадь n граней, каждое из измерений (n — 1), (x + ∆x) n = x n + nx n-1 ∆x + (n2)x n-2 (∆x) 2 + ··· .

Подстановка этого уравнения в определение производной через разность и принятие пределов означает, что члены более высокого порядка, (∆x) 2 и выше, становятся незначительными, и даёт формулу (x n)′ = nx n-1. Всё это интерпретируется как «бесконечно малая скорость изменения объёма n—куба, при изменении длины его стороны, равна площади n (n — 1)».

Биномиальные коэффициенты появляются в разложении бинома Ньютона. Обычно их записывают как (n k) и интерпретируют, как количество способов выбора k элементов из n строки треугольника Паскаля. Коэффициент x n — k y k находят по формуле: (n k) = n! / k! (n-k)!, которая определяется в терминах факториальной функции n!.

Доказательств теоремы несколько. Для примера можно рассмотреть комбинаторное. Его алгоритм — один из самых простых. Коэффициент xy 2 в (x + y) 3 равен:

  • (x + y) (x + y) (x + y);
  • xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy;
  • x2 + 3×2 y + 3xy2 + y3 равняется (3 2) = 3.

Вычисления выглядят так, потому что есть три x и y строки, а именно: xyy, yxy, yyx. Они соответствуют трём двухэлементным подмножествам {1, 2, 3}, а конкретно: {2,3}, {1,3}, {1,2}, где каждое подмножество определяет позиции y в соответствующей строке треугольника.

Или, например, общий случай. Расширение (x + y) n дает сумму 2 n произведений вида e1 e2 … en, где каждый ei равен x или y. Коэффициенты перестановки показывают, что каждый продукт равен x n — k y k для некоторого k между 0 и n. Для заданного k следующие значения равны по порядку:

  • количество копий x n — k y k в расширении;
  • количество n—символов x, y строк, имеющих y ровно в k позициях;
  • количество k-элементных подмножеств {1, 2, …, n}.

Презентация на тему: » Тема: « Формула бинома Ньютона. Свойства биномальных коэффициентов. Треугольник Паскаля ». Учитель: С. С. Вишнякова.» — Транскрипт:

1

Тема: « Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля ». Учитель: С. С. Вишнякова

2

Задача 1. Билет на проезд в маршрутном такси стоил 25 рублей. После подорожания он стал стоить 30 руб. На сколько процентов повысилась цена билета?

3

Задача 2. На диаграмме показана динамика курса доллара в течение двух недель торгов на валютной бирже (в выходные торги не ведутся). Определите, сколько раз курс опускался ниже 29,7 руб/дол?

4

Задача 3. В первенстве Краснодарского края по прыжкам на батуте участвует 1 спортсмен из Ейска, 2 – из Новороссийска, 3 – из Сочи и 4 – из Краснодара. Порядок выступления определяется жеребьевкой. Определите вероятность того, что первым будет выступать спортсмен не из Краснодара.

5

Перестановки — это соединения, отличающиеся порядком элементов Pn-число всевозможных перестановок из n элементов. Pn=n! Размещения — это такие соединения, которые отличаются или количеством элементов, или самими элементами. — число размещений, составленных из n элементов по m. A m n =n (n-1) (n-2) … (n-m+1)

6

Сочетания – комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. – число сочетаний из n элементов по m.

7

Треугольник Паскаля – Это бесконечная числовая таблица «треугольной формы», в которой по боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц, получается как сумма двух предшествующих чисел.

8

Формула бинома Ньютона – для всех действительных чисел a,b и для всех натуральных чисел n имеет следующий вид:, где и где коэффициенты называют биномиальными коэффициентами, а так же числом сочетаний и n элементов по k.

9

Свойства биномиальных коэффициентов. Биномиальный коэффициент – коэффициент при смежных Z в разложении бинома Ньютона. (a+b) n, где Z=a k b n-k. 1 свойство: свойство симметрии: 2 свойство: свойство сложения: 3 свойство: 4 свойство: 5 свойство: – это равенство формулы бинома Ньютона.

10

11

Задача 2. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? Решение. В первом туре Руслан Орлов может сыграть с 26 1 = 25 бадминтонистами, из которых 9 из России. Значит вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна